矩阵之间有三种关系：
矩阵等价：
矩阵具有相同的秩。
具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解。
矩阵合同：
定义：对同型方阵A、B，存在可逆阵P使得 B=PTAP
矩阵相似:
比等价严苛
定义：对同型方阵A、B，存在可逆阵P，使得 B=P−1AP
三者关系：
等价（只有秩相同）–>合同（秩和正负惯性指数相同）–>相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同），矩阵亲密关系的一步步深化。
相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵
合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵
合同矩阵未必是相似矩阵
相似矩阵未必是合同矩阵
正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵
如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合同
下面转载一篇文章，这篇文章对这个问题讲得比较清楚。
由此看到，等价关系可以用来分类。
矩阵的三种关系都属于等价关系。
上面这段话将三种关系的变换说的非常清楚。
